2. Ecuaciones de la Elipse

Ecuación reducida de la elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes 

de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Ejemplo

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la 

elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

Semieje mayor

Semidistancia focal

Semieje menor

Ecuación reducida

Excentricidad

Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

Si el eje principal está en el de ordenadas se 

obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:

F'(0, -c) y F(o, c)

Ejemplo

Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas 

de los vértices de los focos y la excentricidad.

Ecuación de la elipse

Si el centro de la elipse C(x₀,y₀) y el eje principal es paralelo a OX, los 

focos tienen de coordenadas F(X₀+c, y₀) y F'(X₀-c, y₀). Y la ecuación de 

la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ejemplos

Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, 

vértices y focos.

Ecuación de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse C(x₀,y₀) y el eje principal es paralelo a OY, los focos 

tienen de coordenadas F(X₀, y+c) y F'(X₀, y₀-c). Y la ecuación de la elipse será: