6. Auto evaluación

AUTO EVALUACIÓN

Para la siguiente evaluación sobre los temas vistos anteriormente se deben realizar los procedimientos de cada uno de los ejercicios planteados y llegar a las respuesta correcta la cual en algunos de los ejercicios se encuentra expresada en la evaluación.

1. Defina los siguientes términos


a) Elipse
b) Foco
c) Semieje mayor
d) Vértice


2. la siguiente definición corresponde a :


Es el punto eje, del cual se pueden ubicar cada uno de los vértices y sus correspondientes Focos para la gráfica de una Elipse. 


3. Determine las coordenadas del centro y los vértices dada la ecuación: 

4x² + y² –16x + 2y + 13 = 0 

Rta:      Centro:(2, -1) 

          Semiejes: a = 1 y b = 2

4. Del punto tres determinar la ecuación de la elipse realizar el procedimiento para llegar a ella.

Rta.     

5. Realizar la Gráfica según la ecuación del punto tres.

5. Ejercicio 3

Ejemplo No. 3

1. Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por: 

25x² + 4y² = 100 

Solución: 

La ecuación: 25x² + 4y² = 100, puede escribirse en las formas equivalentes: 

x ² + y ²= 1
4       25 

 

La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y. 

De otro lado, , de donde  y en consecuencia, los focos se encuentran localizados en los puntos y . 

Además, los vértices de la elipse son los puntos: V₁(2, 0), V₂(5, 0), V₃(-2, 0) y V₄(-5, 0). 

La figura 6.5.9. recoge toda la información obtenida. 

 

4. Ejercicio 2

Ejemplo No. 2 




1. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos
F(3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0). 

Solución: 

Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que,  y por tanto . 

   

De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V₁(5, 0), V₂(-5, 0), V₃(0, 4) y
V₄(0, -4). Además, su ecuación viene dada por : 

 

3. Ejercicio 1

Ejemplo No. 1

Trazar la gráfica de la Ecuación

X²+4Y²-6X-16Y+21=0

Primer paso

Llevar la ecuación a la forma de una elipse

·         Ordenamos los términos de la Ecuación

                                                                  X²-6X+4Y²-16Y=-21

·         Agrupamos los términos según su variable

                                                                 (X²-6X) + (4Y²-16Y)

·         Factorizamos

                                                                 (X²-6X) + 4(Y²-4Y)=-21

·        Se hace el trinomio cuadrado perfecto

·   Se compensa la ecuación

·  Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto del cual se obtiene un binomio cuadrado

                                                                

                 ( X²-6X+9) + 4(Y²-4Y+4)=-21+9+16

          (√X²-√9)²+4(√Y²-√4)²=4

(X-3)²+4(Y-2)²=4

·         Se iguala la ecuación a 1 por lo tanto se divide la ecuación entre 4

·         Se llega a un modelo de la ecuación de la Elipse

Del modelo de elipse horizontal

     

·         Igualamos los términos de las dos ecuaciones –h y –k

-h=-3   h=3

-k=-2   k=2

C= (3,2)

Con ello se obtiene el centro de la elipse que se encuentra en las coordenadas (3,2)

·         Se igualan los denominadores de las dos ecuaciones a² y b²

a²=4     √a=√4 a=2

b²⁼¹        √b=√1 b=1

·         Se calcula c el cual se conoce como la distancia que hay del centro a cualquiera de los focos de las Elipse.

Se utiliza la relación c=√a²-b²

Reemplazando

c=√4-1            c=√3    c ≈ 1.7

·         Reunimos los elementos obtenidos y graficamos

C= (3,2) Centro de la elipse   a=2  Vértice horizontal  b=1 Vértice vertical  c ≈ 1.7 Distancia del centro a los focos

2. Ecuaciones de la Elipse

Ecuación reducida de la elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes 

de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Ejemplo

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la 

elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

Semieje mayor

Semidistancia focal

Semieje menor

Ecuación reducida

Excentricidad

Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

Si el eje principal está en el de ordenadas se 

obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:

F'(0, -c) y F(o, c)

Ejemplo

Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas 

de los vértices de los focos y la excentricidad.

Ecuación de la elipse

Si el centro de la elipse C(x₀,y₀) y el eje principal es paralelo a OX, los 

focos tienen de coordenadas F(X₀+c, y₀) y F'(X₀-c, y₀). Y la ecuación de 

la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ejemplos

Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, 

vértices y focos.

Ecuación de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse C(x₀,y₀) y el eje principal es paralelo a OY, los focos 

tienen de coordenadas F(X₀, y+c) y F'(X₀, y₀-c). Y la ecuación de la elipse será: